Questão 1: Calcule as seguintes integrais duplas
U onde E: x^24+y^29=1 é a região limitada pela elipse

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaUl(tfracx^24+tfracy^29r)^5,dx,dy, onde U é a região interna à elipse tfracx^24+tfracy^29=1. Vamos usar mudança de variáveis para transformar essa elipse em disco unitário e depois passar para coordenadas polares.

Passo 2

Fazendo a mudança de variáveis
x = 2u, y = 3v,
temos que a elipse tfracx^24+tfracy^29=1 vira u^2+v^2=1. O jacobiano é
J = det2&00&3 = 6, \nlogo dx,dy = 6,du,dv. Além disso,
x^24+y^29 = u^2+v^2,
então a integral fica
6integral duplau^2+v^2<=1(u^2+v^2)^5,du,dv

Passo 3

Agora passamos para coordenadas polares no (u,v):
u = rcostheta, v = rsintheta,
com 0<= r<=1, 0<=theta<2pi e du,dv = r,dr,dtheta. A integral vira
6integral0^2piintegral0^1(r^2)^5,r,dr,dtheta =6integral0^2piintegral0^1r^11,dr,dtheta

Passo 4

Calculando:
integral0^1r^11,dr = 112,
então
6integral0^2pi112,dtheta = 6cdot112cdot2pi = pi

Resposta

pi

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