Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sec (x)^4 tg(x)^6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^4(x),tan^6(x),dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, e uma técnica clássica aqui é usar a substituição
u = tan(x), du = sec^2(x),dx

Passo 2

Reescrevemos o integrando de maneira a destacar um fator sec^2(x),dx:
sec^4(x),tan^6(x) =tan^6(x),sec^2(x),l(sec^2(x)r)
Assim podemos usar sec^2(x),dx = du e lidar com o restante em u.

Passo 3

Com u=tan(x) e du=sec^2(x),dx, o fator remanescente tan^6(x),sec^2(x) vira
u^6,(1+u^2),
pois sec^2(x)=1+tan^2(x)=1+u^2.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral u^6,(1+u^2),du =integrall(u^6+u^8r),du =u^77+u^99+C

Passo 5

Voltando à variável x com u=tan(x), a antiderivada final é
tan^7(x)7+tan^9(x)9+C

Resposta

tan^7(x)7+tan^9(x)9+C

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