Encontre f: R R e a in R tais que
6+integrala^x f(t)t^2 d t=2 raizx, forall x>0

Passo 1

O enunciado pede uma função f e um número real a tais que, para todo x>0, valha
6+integrala^xf(t)t^2,dt ;=;2raizx
O conteúdo envolvido é uma equação integral que podemos resolver diferenciando em relação a x e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para achar f. Em seguida, retornamos à forma integral para ajustar a constante e determinar a.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados da igualdade em relação a x, temos, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
ddxl(6+integrala^xf(t)t^2,dtr) =f(x)x^2,
e do outro lado
ddxl(2raizxr) =2cdot12raizx =1raizx
Logo,
f(x)x^2=1raizx

Passo 3

Isolando f(x), obtemos
f(x)=x^2,1raizx =x^2-12 =x^32

Passo 4

Agora substituímos f(t)/t^2=t^3/2/t^2=t^-1/2 de volta na integral inicial:
6+integrala^xt^-12dt =6+l[2raiztr]t=a^t=x =6+l(2raizx-2raizar) =2raizx+l(6-2raizar)
Para que isso seja igual a 2raizx para todo x>0, precisamos de
6-2raiza=0 Longrightarrow raiza=3 Longrightarrow a=9

Resposta

f(x)=x^3/2 e a=9.

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