Calcule o volume do sólido obtido rotacionando a região limitada pelas curvas:
e
em torno do eixo
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo
, a região limitada pelas curvas
e
O conteúdo é cálculo de volume de revolução usando o método dos discos (washers). Para resolver, precisamos:
- Encontrar a faixa de
onde as curvas se intersectam. - Identificar os raios interno e externo do disco.
- Montar a integral de volume
- Calcular a integral.
Passo 2
As interseções vêm de
Logo, a região vai de
até
.
Passo 3
Ao rotacionar em torno do eixo
, um corte perpendicular a esse eixo em altura
gera um anel (disco com furo) de área
onde
Assim,
Passo 4
Primeiro expandimos o termo quadrático:
Logo o integrando fica
Calculamos a antiderivada:
Passo 5
Avaliaremos de
a
. Em
:
Em
:
Portanto