Calcule o volume do sólido obtido rotacionando a região limitada pelas curvas:
x=y^2-6 y+10 e x=5 em torno do eixo y;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo y, a região limitada pelas curvas
x = y^2 - 6y + 10
e
x = 5
O conteúdo é cálculo de volume de revolução usando o método dos discos (washers). Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar a faixa de y onde as curvas se intersectam.
  2. Identificar os raios interno e externo do disco.
  3. Montar a integral de volume
  4. Calcular a integral.

Passo 2

As interseções vêm de
y^2 - 6y + 10 = 5
y^2 - 6y + 5 = 0
y = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm 42 ;Longrightarrow; y = 1,;5
Logo, a região vai de y=1 até y=5.

Passo 3

Ao rotacionar em torno do eixo y, um corte perpendicular a esse eixo em altura y gera um anel (disco com furo) de área
A(y) = pil[R^2 - r^2r],
onde
R = 5 e r = y^2 - 6y + 10
Assim,
V = integraly=1^5 A(y),dy = pi integral1^5l[5^2 - l(y^2 - 6y +10r)^2r]dy

Passo 4

Primeiro expandimos o termo quadrático:
l(y^2 - 6y +10r)^2 = y^4 - 12y^3 + 56y^2 - 120y + 100
Logo o integrando fica
25 - l(y^4 - 12y^3 + 56y^2 - 120y + 100r) = -y^4 +12y^3 -56y^2 +120y -75
Calculamos a antiderivada:
integral l(-y^4 +12y^3 -56y^2 +120y -75r)dy = -tfrac15y^5 + 3y^4 - tfrac563y^3 + 60y^2 -75y

Passo 5

Avaliaremos de 1 a 5. Em y=5:
-tfrac15,5^5 + 3cdot5^4 - tfrac563,5^3 + 60cdot5^2 -75cdot5 = 1253
Em y=1:
-tfrac15 + 3 - tfrac563 +60 -75 = -46315
Portanto
V = pil[tfrac1253 - l(-tfrac46315r)r] = pi,108815

Resposta

V = 1088pi15

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