Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral 1theta tg(ln theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1theta,tanl(ln thetar),dtheta
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, pois vemos a composição tan(lntheta) e o fator tfrac1theta,dtheta sugere a diferenciar lntheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = lntheta,
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du = 1theta,dtheta
Com isso, a integral em theta passa a ser uma integral em u:
integral 1theta,tan(lntheta),dtheta = integral tan(u),du

Passo 3

Precisamos agora calcular
integral tan(u),du
Lembrando que tan(u)=dfracsin ucos u, fazemos a substituição auxiliar w=cos u, daí dw=-sin u,du. Então
integral sin ucos u,du = -integral dww = -lnl|wr| + C = -lnl|cos ur| + C

Resposta

-lnl|cos(lntheta)r| + C

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