Use o teste da raiz para determinar a convergência ou a divergência da série. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. O teste da raiz é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a analisar séries infinitas, que são somas com um número infinito de termos. A gente vai precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o que é o teste da raiz? Ele funciona assim: a gente calcula a raiz -ésima do termo geral da série, ou seja, , e depois vê o limite disso quando vai para o infinito. Dependendo desse limite, a série converge ou não.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, . Agora, vamos calcular a raiz -ésima desse termo:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito:
limn to infty n2n+1
Vamos simplificar dividindo numerador e denominador por n:
limn to infty 12 + 1n = 12 + 0 = 12
Passo 5
Segundo o teste da raiz, se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma conclusão. No nosso caso, o limite é 12, que é menor que 1.