Use o teste da raiz para determinar a convergência ou a divergência da série.
sumn=0^infty n^n(2 n+1)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teste da raiz para descobrir se a série sumn=0^infty n^n(2n+1)^n converge ou diverge. O teste da raiz é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a analisar séries infinitas, que são somas com um número infinito de termos. A gente vai precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o que é o teste da raiz? Ele funciona assim: a gente calcula a raiz n-ésima do termo geral da série, ou seja, raiz[n]|an|, e depois vê o limite disso quando n vai para o infinito. Dependendo desse limite, a série converge ou não.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, an = n^n(2n+1)^n. Agora, vamos calcular a raiz n-ésima desse termo:
raiz[n]|n^n(2n+1)^n| = n2n+1

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito:
limn to infty n2n+1
Vamos simplificar dividindo numerador e denominador por n:
limn to infty 12 + 1n = 12 + 0 = 12

Passo 5

Segundo o teste da raiz, se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma conclusão. No nosso caso, o limite é 12, que é menor que 1.

Resposta

A série converge.

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