Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
(b) integral sen^3(x) cos ^6(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sen^3(x),cos^6(x),dx
Estamos lidando com uma integral de potências de funções trigonométricas. Como a potência de sen(x) é ímpar, vamos aproveitar a identidade
sen^2(x)=1-cos^2(x)
e depois usar a substituição u=cos(x).

Passo 2

Separe uma cópia de sen(x),dx e use a identidade em sen^3(x):
sen^3(x),cos^6(x),dx =l(sen^2(x)r),sen(x),cos^6(x),dx =(1-cos^2(x)),sen(x),cos^6(x),dx
Isto é
sen^3(x),cos^6(x),dx =l(cos^6(x)-cos^8(x)r),sen(x),dx

Passo 3

Faça a substituição
u=cos(x), du=-sen(x),dx Longrightarrow sen(x),dx=-du
Então a integral vira
integral(cos^6x-cos^8x),sen(x),dx =integrall(u^6-u^8r)(-du) =integrall(u^8-u^6r),du

Passo 4

Agora basta integrar potência a potência:
integrall(u^8-u^6r),du =u^99-u^77+C

Passo 5

Retornando a variável original x com u=cos(x), obtemos
integral sen^3(x),cos^6(x),dx =cos^9(x)9-cos^7(x)7+C

Resposta

cos^9(x)9-cos^7(x)7+C

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