Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
(l) integral tan ^5(x) sec ^3(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^5(x),sec^3(x),dx
O conteúdo envolvido são integrais trigonométricas com potências de tan e sec. Vamos usar substituição de u aproveitando que
ddxl(tan xr)=sec^2x
e a identidade trigonométrica
,1+tan^2x=sec^2x.

Passo 2

Separe um fator sec^2(x) para usar como du:
integral tan^5(x),sec^3(x),dx =integral tan^5(x),sec(x),underbracesec^2(x),dxdu
Fazendo
u=tan(x), du=sec^2(x),dx, sec(x)=raiz1+tan^2(x)=raiz1+u^2,
a integral fica
integral u^5,raiz1+u^2,du

Passo 3

Para resolver
integral u^5raiz1+u^2,du
use a nova substituição
w=1+u^2, dw=2u,du Longrightarrow u,du=dw2,
e observe que
u^4=(u^2)^2=(w-1)^2
Então
integral u^5raiz1+u^2,du =integral u^4,(u,du),w^1/2 =12integral (w-1)^2,w^1/2,dw

Passo 4

Expanda o integrando e integre termo a termo:
(w-1)^2,w^1/2 =(w^2-2w+1),w^1/2 =w^5/2-2w^3/2+w^1/2
Logo
12integrall(w^5/2-2w^3/2+w^1/2r),dw =12l(w^7/27/2-2w^5/25/2+w^3/23/2r)+C
=17w^7/2-25w^5/2+13w^3/2+C

Passo 5

Volte às funções trigonométricas:
w=1+u^2=1+tan^2(x)=sec^2(x)
implica
w^7/2=sec^7(x), w^5/2=sec^5(x), w^3/2=sec^3(x)

Resposta

integral tan^5(x),sec^3(x),dx =17,sec^7(x) -25,sec^5(x) +13,sec^3(x) +C

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