Utilize Decomposição em Frações Parciais para calcular as integrais abaixo.
(c) integral x(x+4)(2 x-1) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x(x+4)(2x-1),dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo envolve escrever a função racional como soma de termos simples e depois integrar usando logaritmos.

Passo 2

Verificamos que é uma função racional própria, pois o grau do numerador ( 1) é menor que o do denominador ( 2). Então podemos escrever
x(x+4)(2x-1) = Ax+4 + B2x-1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+4)(2x-1), obtemos a identidade
x = A(2x-1) + B(x+4) = (2A + B)x + (-A + 4B)
Comparando coeficientes de x e termo independente, formamos o sistema:
2A + B = 1, -A + 4B = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem A = 4B. Substituindo na primeira:
2(4B) + B = 1 implies 9B = 1 implies B = tfrac19, A = tfrac49

Passo 5

Assim a integral se torna
integral x(x+4)(2x-1),dx = integral l(tfrac491x+4 + tfrac1912x-1r),dx
Integramos cada termo:
integral 491x+4,dx = 49ln|x+4|, integral 1912x-1,dx = 19cdot12ln|2x-1| = 118ln|2x-1|

Resposta

integral x(x+4)(2x-1),dx = 49ln|x+4| + 118ln|2x-1| + C

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