Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
(d) integral sen^5(2 t) cos ^2(2 t) d t;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sen^5(2t),cos^2(2t),dt
O assunto aqui é integrais de potências trigonométricas quando a potência do seno é ímpar. A gente vai usar a identidade sen^2(2t)+cos^2(2t)=1 para reescrever parte em função de cos e depois fazer uma substituição simples.

Passo 2

Separe um fator sen(2t),dt para a substituição e escreva o resto em potências de cos(2t):
integral sen^5(2t)cos^2(2t),dt =integral sen^4(2t),cos^2(2t),sen(2t),dt
Como sen^2(2t)=1-cos^2(2t), temos sen^4(2t)=(1-cos^2(2t))^2. Agora use
u=cos(2t), du=-2,sen(2t),dt Longrightarrow sen(2t),dt=-tfrac12,du
Assim a integral vira
-tfrac12integral (1-u^2)^2,u^2,du

Passo 3

Expanda (1-u^2)^2=1-2u^2+u^4. Então
-tfrac12integral (1-u^2)^2,u^2,du =-tfrac12integral (u^2-2u^4+u^6),du
Agora integre cada termo:
integral u^2,du=tfracu^33, integral u^4,du=tfracu^55, integral u^6,du=tfracu^77
Fica
-tfrac12l(tfracu^33-2tfracu^55+tfracu^77r)+C

Passo 4

Volte à variável original u=cos(2t):
-tfrac12l(tfraccos^3(2t)3-tfrac2cos^5(2t)5+tfraccos^7(2t)7r) =-cos^3(2t)6 +cos^5(2t)5 -cos^7(2t)14 + C

Resposta

integral sen^5(2t)cos^2(2t),dt =-cos^3(2t)6 +cos^5(2t)5 -cos^7(2t)14 + C

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