Nome
Questão 6: (2,0 pontos) Calcule as integrais duplas sobre a região dada .
a) integral duplaB 15+x^2+y^2 d A. onde B=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 4, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaB15+x^2+y^2,dA
sobre a região
B=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<= 4,;y>=0
Para resolver vamos usar coordenadas polares, onde x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares a região B fica
0<= r<= 2, 0<= theta<= pi,
e a integral vira
integraltheta=0^piintegralr=0^215+r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Calcule primeiro a integral em r:
integral0^2r5+r^2,dr
Faça a substituição u=5+r^2, du=2r,dr, obtendo
integralr=0^2r5+r^2,dr =12integralu=5^9duu =12l[ln(u)r]5^9 =12l(ln(9)-ln(5)r) =12ln!l(tfrac95r)

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^pi12ln!l(tfrac95r),dtheta =12ln!l(tfrac95r),l[thetar]0^pi =pi2ln!l(tfrac95r)

Resposta

pi2ln!l(tfrac95r)

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