Nome
№
Questão 7: O cilindro deitado no eixo x é dado por
e
.
b) (0.75) Cácule o volume usando integral dupla.
Questão 7: O cilindro deitado no eixo x é dado por
b) (0.75) Cácule o volume usando integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede o volume do cilindro definido por
ou seja, uma região cilíndrica de altura
cujo eixo é paralelo ao eixo
e cuja projeção no plano
é o disco de raio
centrado em
. Vamos usar integrais para calcular o volume, transformando a integral tripla em uma dupla sobre o disco vezes a altura.
Passo 2
Escrevemos o volume como integral tripla
e, integrando primeiro em
de
a
, obtemos
onde
.
Passo 3
Para calcular
, introduzimos coordenadas polares centradas em
. Seja
com
,
. O Jacobiano é
, então
Passo 4
Calculamos a integral em
e
:
Passo 5
Voltando ao volume, temos