Nome
Questão 7: O cilindro deitado no eixo x é dado por x^2+(y-R)^2=R^2 e 0 <= z <= h.
b) (0.75) Cácule o volume usando integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede o volume do cilindro definido por
x^2+(y-R)^2<= R^2, 0<= z<= h,
ou seja, uma região cilíndrica de altura h cujo eixo é paralelo ao eixo z e cuja projeção no plano xy é o disco de raio R centrado em (0,R). Vamos usar integrais para calcular o volume, transformando a integral tripla em uma dupla sobre o disco vezes a altura.

Passo 2

Escrevemos o volume como integral tripla
V=integral triplacilindro dV
e, integrando primeiro em z de 0 a h, obtemos
V=integral duplaDl(integral0^hdzr)dA =hintegral duplaDdA,
onde D=(x,y)mid x^2+(y-R)^2<= R^2.

Passo 3

Para calcular integral duplaDdA, introduzimos coordenadas polares centradas em (0,R). Seja
x = rcostheta, y-R = rsintheta,
com 0<= r<= R, 0<=theta<= 2pi. O Jacobiano é r, então
integral duplaDdA =integral0^2piintegral0^Rr,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral em r e theta:
integral0^2piintegral0^Rr,dr,dtheta =integral0^2pil[tfracr^22r]0^Rdtheta =integral0^2piR^22,dtheta =R^22cdot 2pi =pi R^2

Passo 5

Voltando ao volume, temos
V =hintegral duplaDdA =hl(pi R^2r) =pi R^2h

Resposta

V=pi R^2h

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