Nome
Questão 10: Calcule
b) cálcule a área do disco eliptico de raio R usando integral dupla B=(x, y) in R^2 lvert, x^2a^2+y^2b^2 <= 1
Dica: Use integração dupla e faça a seguinte mudança de coordendas x=a u e y=b v e depois aplique a mudança de coordenadas polares u=r cos (theta) e v=r sen(theta)

Passo 1

O enunciado pede a área do disco elíptico
B = l(x,y)in R^2 mid tfracx^2a^2 + tfracy^2b^2 <= 1r
O conteúdo é cálculo de área por integral dupla, usando mudança de variáveis e coordenadas polares.

Passo 2

Escrevemos a área como
A = integral duplaB 1 ,dx,dy
Fazemos a transformação linear
x = a,u, y = b,v,
cujo jacobiano em módulo é
l|detpartial(x,y)partial(u,v)r| = a,b
Sob essa mudança, B vira o disco unitário
D = (u,v)mid u^2+v^2 <= 1
Logo,
A = integral duplaD a,b,du,dv = a,b integral duplaD du,dv

Passo 3

Para calcular integral duplaDdu,dv, usamos coordenadas polares
u = rcostheta, v = rsintheta,
com rin[0,1] e thetain[0,2pi]. O jacobiano é r, então
integral duplaD du,dv = integral0^2pi!integral0^1 r,dr,dtheta
Calculando em r,
integral0^1 r,dr = tfrac12,
e em theta,
integral0^2pi tfrac12,dtheta = pi

Passo 4

Substituindo de volta em A,
A = a,b times pi = pi,a,b

Resposta

pi a b

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