Resolva o problema de Dirichlet para o anel
com dados de fronteira contínuos
e
. Prove a continuidade da solução até a fronteira, no caso em que
e
são de classe
.
Passo 1
Estamos resolvendo o problema de Dirichlet em coordenadas polares no anel
, com dados de fronteira de classe
:
e
. O conteúdo usado será a equação de Laplace em coordenadas polares, separação de variáveis e séries de Fourier, e precisaremos da decaída de coeficientes de Fourier para funções
.
Passo 2
Começamos por separar variáveis na equação de Laplace em coordenadas polares:
“
”
Passo 3
Buscando
obtemos para cada inteiro
:
- Modo
: soluções radiais são constantes e . - Para
: equação radial
“
”
cuja base de soluções é e
, e para o ângulo
“ ”
cuja base de soluções é
“
com soluções
e
.
Passo 4
Assim, a solução geral harmônica no anel é
“
”
Passo 5
Expandimos as funções de contorno em séries de Fourier: para
,
“
”
Como , os coeficientes satisfazem
.
Como
Passo 6
Impondo
e
obtemos sistemas lineares para cada modo:
Passo 7
Para o modo
:
“
”
que dá
“ ”
que dá
“
Passo 8
Para cada
em
:
“
”
cujo sistema leva a
“ ”
cujo sistema leva a
“
Passo 9
Analogamente, para
obtemos
“
”
Passo 10
Para concluir, analisamos a convergência da série de
no fecho do anel. Como
e
“
”
que gera convergência absoluta e uniforme de cada soma, a série total converge uniformemente em . Pelo teorema da convergência uniforme,
é contínua no fecho do anel e satisfaz
.
que gera convergência absoluta e uniforme de cada soma, a série total converge uniformemente em
Resposta
A solução é dada pela série de Fourier construída acima, cujos coeficientes vêm da imposição das condições de contorno e decaem suficientemente rápido (graças a f₁,f₂ ∈ C¹) para garantir convergência uniforme. Assim, u(r,θ) estende-se continuadamente às fronteiras r=ρ₁ e r=ρ₂, onde assume os valores f₁(θ) e f₂(θ).