Resolva o problema de Dirichlet para o anel
A=(r, theta): 0
com dados de fronteira contínuos u(rho1, theta)=f1(theta) e u(rho2, theta)=f2(theta). Prove a continuidade da solução até a fronteira, no caso em que f1 e f2 são de classe C^1.

Passo 1

Estamos resolvendo o problema de Dirichlet em coordenadas polares no anel A=(r,theta):rho1, com dados de fronteira de classe C^1: u(rho1,theta)=f1(theta) e u(rho2,theta)=f2(theta). O conteúdo usado será a equação de Laplace em coordenadas polares, separação de variáveis e séries de Fourier, e precisaremos da decaída de coeficientes de Fourier para funções C^1.

Passo 2

Começamos por separar variáveis na equação de Laplace em coordenadas polares:
urr+1r ur+1r^2uthetatheta=0

Passo 3

Buscando u(r,theta)=R(r)Theta(theta) obtemos para cada inteiro n>=0:
  • Modo n=0: soluções radiais são constantes e ln r.
  • Para n>=1: equação radial
r^2R''+rR'-n^2R=0,
cuja base de soluções é r^n e r^-n, e para o ângulo
Theta''+n^2Theta=0
com soluções cos(ntheta) e sin(ntheta).

Passo 4

Assim, a solução geral harmônica no anel é
u(r,theta)=A0+B0ln r+sumn=1^inftyl(An r^n+Bn r^-nr)cos(ntheta)+sumn=1^inftyl(Cn r^n+Dn r^-nr)sin(ntheta)

Passo 5

Expandimos as funções de contorno em séries de Fourier: para j=1,2,
fj(theta)=a0^j+sumn=1^inftyl(an^jcos(ntheta)+bn^jsin(ntheta)r)
Como fjin C^1, os coeficientes satisfazem |an^j|+|bn^j|=O(1/n).

Passo 6

Impondo u(rho1,theta)=f1(theta) e u(rho2,theta)=f2(theta) obtemos sistemas lineares para cada modo:

Passo 7

Para o modo n=0:
A0+B0lnrho1=a0^1, A0+B0lnrho2=a0^2,
que dá
B0=a0^2-a0^1ln(rho2/rho1), A0=a0^1-B0lnrho1

Passo 8

Para cada n>=1 em cos(ntheta):
Anrho1^n+Bnrho1^-n=an^1, Anrho2^n+Bnrho2^-n=an^2,
cujo sistema leva a
An=an^1,rho2^-n-an^2,rho1^-nrho1^nrho2^-n-rho2^nrho1^-n, Bn=an^2,rho1^n-an^1,rho2^nrho1^nrho2^-n-rho2^nrho1^-n

Passo 9

Analogamente, para sin(ntheta) obtemos
Cn=bn^1,rho2^-n-bn^2,rho1^-nrho1^nrho2^-n-rho2^nrho1^-n, Dn=bn^2,rho1^n-bn^1,rho2^nrho1^nrho2^-n-rho2^nrho1^-n

Passo 10

Para concluir, analisamos a convergência da série de u(r,theta) no fecho do anel. Como |an^j|+|bn^j|=O(1/n) e
|An r^n|+|Bn r^-n|<= C1/n|rho1^nrho2^-n-rho2^nrho1^-n|max(rho2^n,rho1^-n)=Ol(1n(tfracrho1rho2)^nr),
que gera convergência absoluta e uniforme de cada soma, a série total converge uniformemente em [rho1,rho2]times[0,2pi]. Pelo teorema da convergência uniforme, u é contínua no fecho do anel e satisfaz u(rhoj,theta)=fj(theta).

Resposta

A solução é dada pela série de Fourier construída acima, cujos coeficientes vêm da imposição das condições de contorno e decaem suficientemente rápido (graças a f₁,f₂ ∈ C¹) para garantir convergência uniforme. Assim, u(r,θ) estende-se continuadamente às fronteiras r=ρ₁ e r=ρ₂, onde assume os valores f₁(θ) e f₂(θ).

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