Resolva as integrais:
\int_{0}^{1 / \sqrt{2}} 2 y \arcsin \left(y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1/\sqrt{2}} 2\,y\,\arcsin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.
O conteúdo é técnica de substituição (mudança de variável) para transformar em uma integral mais simples.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u = y^{2}. Então du = 2y\,dy. Ao alterar os limites:
quando y=0, u=0; quando y=1/\sqrt{2}, u=(1/\sqrt{2})^{2}=1/2. A integral torna-se
\int_{0}^{1/\sqrt{2}} 2y\,\arcsin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy = \int_{0}^{1/2} \arcsin(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \int \arcsin(u)\,du, usamos a primitiva conhecida
\int \arcsin(u)\,du = u\,\arcsin(u) + \sqrt{1 - u^{2}} + C.
Podemos verificar diferenciando esse resultado e obtendo \arcsin(u).

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 1/2, temos
\Bigl[u\,\arcsin(u) + \sqrt{1 - u^{2}}\Bigr]_{0}^{1/2} = \Bigl(\tfrac12\arcsin\tfrac12 + \sqrt{1 - \tfrac14}\Bigr) - \Bigl(0\cdot\arcsin0 + \sqrt{1}\Bigr).
Como \arcsin\tfrac12 = \tfrac\pi6 e \sqrt{1 - \tfrac14} = \tfrac{\sqrt3}{2}, resulta
\frac12\cdot\frac\pi6 + \frac{\sqrt3}{2} - 1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt3}{2} - 1.

Resposta

\int_{0}^{1/\sqrt{2}} 2\,y\,\arcsin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt3}{2} - 1.

Exercícios relacionados