Considere
f(t)= sen t, & 0 <= t= 2 pi
Expresse f em termos da função degrau.

Passo 1

A questão dá a função por partes:
0 ≤ t < π: f(t)=sen t
π ≤ t < 2π: f(t)=cos t
t ≥ 2π: f(t)=e^{-t/10}
Queremos escrever isso usando a função degrau unitário u(t–a), que é 0 para t<a e 1 para t≥a.

Passo 2

A função degrau nos permite ‘ligar’ e ‘desligar’ partes de f(t). Se eu quiser que sen t valha apenas em 0≤t<π, uso:
– u(t) para ligar em t=0 em diante.
– u(t–π) para desligar em π em diante.
Logo essa parte vira sen t [u(t) – u(t–π)].

Passo 3

De modo análogo, para π≤t<2π com f(t)=cos t, ligamos em t=π e desligamos em t=2π. Isso dá:
cos t [u(t–π) – u(t–2π)].

Passo 4

Por fim, para t≥2π com f(t)=e^{–t/10}, basta ligar em t=2π:
e^{–t/10}·u(t–2π).

Passo 5

Somando tudo, conseguimos a expressão desejada em termos de degrau.

Resposta

f(t)=sin t,l[u(t)-u(t-pi)r];+ cos t,l[u(t-pi)-u(t-2pi)r];+ e^-t/10,u(t-2pi)

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