Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
(j) integral0^pi / 4 tan ^6(x) sec ^6(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral0^pi/4tan^6(x)sec^6(x),dx
O conteúdo aqui é integral de função trigonométrica que combina potências de tan e sec. Vamos usar a substituição
u = tan(x), du = sec^2(x),dx,
e a identidade
sec^2(x) = 1 + tan^2(x)

Passo 2

Separe um fator sec^2(x) para usar du e escreva o restante em função de tan:
tan^6(x)sec^6(x) = tan^6(x)sec^4(x),sec^2(x)
e como sec^4(x)=(sec^2(x))^2=(1+tan^2(x))^2, temos
tan^6(x)sec^6(x) = tan^6(x)l(1+tan^2(x)r)^2,sec^2(x)

Passo 3

Agora aplicamos u=tan(x) e du=sec^2(x),dx. Quando x=0, u=0; quando x=pi/4, u=1. Então a integral vira
integral0^pi/4tan^6(x)sec^6(x),dx = integral0^1u^6,(1+u^2)^2,du

Passo 4

Expanda o polinômio:
(1+u^2)^2=u^4+2u^2+1,
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u^6(1+u^2)^2 = u^6(u^4+2u^2+1) = u^10+2u^8+u^6
Integre termo a termo:
integral(u^10+2u^8+u^6),du = u^1111 + 2u^99 + u^77

Passo 5

Avalie de 0 a 1:
[u^1111 + 2u^99 + u^77]0^1 = 111 + 29 + 17 = 63 + 154 + 99693 = 316693

Resposta

316693

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