Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
y^(4)+y^prime prime prime+y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a equação característica e suas raízes para a equação diferencial linear, homogênea e de coeficientes constantes
y^(4) + y''' + y'' = 0
Para isso usamos o ansatz y=e^rt, pois nessa hipótese cada derivada gera um fator r multiplicando e^rt.

Passo 2

Substituindo y=e^rt na equação, temos
y^(4)+y'''+y'' = l(r^4 + r^3 + r^2r)e^rt = 0
Como e^rtneq0, a parte que precisa anular é
r^4 + r^3 + r^2 = 0,
que é a equação característica.

Passo 3

Para resolver
r^4 + r^3 + r^2 = 0
fatoramos r^2:
r^2(r^2 + r + 1)=0
Logo as soluções são
  • r=0 (com multiplicidade 2),
  • e as raízes de r^2 + r + 1=0. O discriminante é
De<a = 1^2 - 4cdot1cdot1 = -3,
de onde
r = -1 pm raiz-32 = -1 pm iraiz32

Resposta

Equação característica:
r^4 + r^3 + r^2 = 0
Raízes:
r=0 (mu<iplicidade 2), r = -1 + iraiz32, r = -1 - iraiz32

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