Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo.
(d) integral x^3 raiz16+x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3raiz16+x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Aqui vamos usar a identidade para radicales do tipo raiza^2+x^2: fazemos
x = atantheta, a=4

Passo 2

Fazendo
x = 4tantheta, dx = 4sec^2theta,dtheta,
temos
raiz16+x^2 = raiz16+16tan^2theta =4raiz1+tan^2theta =4sectheta
Logo o integrando vira
x^3raiz16+x^2,dx = (4tantheta)^3,(4sectheta),(4sec^2theta,dtheta) =1024,tan^3theta,sec^3theta,dtheta

Passo 3

Para integrar
I=1024integral tan^3theta,sec^3theta,dtheta
usamos tan^3theta=tantheta(sec^2theta-1). Assim
I=1024integrall(tantheta,sec^5theta-tantheta,sec^3thetar),dtheta

Passo 4

Em cada termo fazemos a substituição
u=sectheta, du=secthetatantheta,dtheta
Então
tantheta,sec^5theta,dtheta =sec^4theta,du, tantheta,sec^3theta,dtheta =sec^2theta,du,
e
I=1024integral l(u^4-u^2r),du =1024l(u^55-u^33r)+C

Passo 5

Volta à variável x:
u=sectheta =raiz16+x^24
Logo
I =1024l(15sec^5theta-13sec^3thetar)+C =10245l(raiz16+x^24r)^5 -10243l(raiz16+x^24r)^3+C

Passo 6

Simplificando as potências:
l(raiz16+x^24r)^5 =(16+x^2)^5/24^5 =(16+x^2)^5/21024,
l(raiz16+x^24r)^3 =(16+x^2)^3/24^3 =(16+x^2)^3/264
Substituindo:
I =10245cdot(16+x^2)^5/21024 -10243cdot(16+x^2)^3/264+C =15(16+x^2)^5/2 -163(16+x^2)^3/2+C

Resposta

integral x^3raiz16+x^2,dx =15(16+x^2)^5/2 -163(16+x^2)^3/2+C

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