Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo.
(a) integral x^3raiz1-x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3raiz1 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve integrais que têm raiz1 - x^2, então vamos usar a substituição
x = sintheta,
pois aí raiz1 - x^2 = costheta e dx = costheta,dtheta.

Passo 2

Fazendo a troca x = sintheta, temos
x^3 = sin^3theta, raiz1 - x^2 = costheta, dx = costheta,dtheta
Substituindo na integral:
integral x^3raiz1 - x^2,dx = integral sin^3thetacostheta,l(costheta,dthetar) = integral sin^3theta,dtheta

Passo 3

Para integrar integral sin^3theta,dtheta, escrevemos sin^3theta = sin^2theta,sintheta = (1 - cos^2theta)sintheta. Logo,
integral sin^3theta,dtheta = integral (1 - cos^2theta),sintheta,dtheta
Fazemos agora a substituição u = costheta, o que dá du = -sintheta,dtheta. Assim,
integral (1 - cos^2theta),sintheta,dtheta = integral (1 - u^2),(-du) = integral (u^2 - 1),du

Passo 4

Integramos em u:
integral (u^2 - 1),du = u^33 - u + C
Voltando a theta, ficamos com
cos^3theta3 - costheta + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável x. Como costheta = raiz1 - x^2, obtemos
integral x^3raiz1 - x^2,dx = 13l(raiz1 - x^2r)^3 ;-;raiz1 - x^2 ;+;C = (1 - x^2)^3/23 - (1 - x^2)^1/2 + C

Resposta

integral x^3raiz1 - x^2,dx = (1 - x^2)^3/23 ;-; (1 - x^2)^1/2 + C

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