Determine relações entre as constantes a, b, c, d de modo que u(x, y)=a x^3+3 b x^2 y+3 c x y^2+d y^3 seja harmônica.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos que a função
u(x,y)=a x^{3}+3b x^{2}y+3c x y^{2}+d y^{3}
seja harmônica. O conteúdo aqui é a equação de Laplace, isto é, precisamos ter De.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x. Primeiro, a derivada em x:
ux=partial upartial x=3a x^2+6b x y+3c y^2
Em seguida, a segunda derivada em x:
uxx=partial^2 upartial x^2=6a x+6b y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em y. Primeiro a derivada em y:
uy=partial upartial y=3b x^2+6c x y+3d y^2
E a segunda derivada em y:
uyy=partial^2 upartial y^2=6c x+6d y

Passo 4

Formamos a laplaciana somando uxx e uyy:
De
Para que De para todo (x,y), os coeficientes de x e y devem ser zero.

Passo 5

Concluímos então as relações entre as constantes:
a+c=0
b+d=0

Resposta

As condições para que u seja harmônica são a+c=0 e b+d=0, ou seja, c=-a e d=-b.

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