Determine relações entre as constantes
de modo que
seja harmônica.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos que a função
u(x,y)=a x^{3}+3b x^{2}y+3c x y^{2}+d y^{3}
seja harmônica. O conteúdo aqui é a equação de Laplace, isto é, precisamos ter .
u(x,y)=a x^{3}+3b x^{2}y+3c x y^{2}+d y^{3}
seja harmônica. O conteúdo aqui é a equação de Laplace, isto é, precisamos ter
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x. Primeiro, a derivada em x:
Em seguida, a segunda derivada em x:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais em y. Primeiro a derivada em y:
E a segunda derivada em y:
Passo 4
Formamos a laplaciana somando
e
:
Para que
para todo
, os coeficientes de x e y devem ser zero.
Passo 5
Concluímos então as relações entre as constantes:
Resposta
As condições para que u seja harmônica são
e
, ou seja,
e
.