Calcule as seguintes integrais: (Trigonométricas e Potência de Trigonométricas) integral sen^4(x) cos ^5(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral integral sen^4(x) cos ^5(x) , dx. Esse exercício está no campo do Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e integrais de potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: integral sen^4(x) cos ^5(x) , dx. Como temos cos^5(x), que é um expoente ímpar, podemos separar uma cos(x) para facilitar a substituição. Ou seja:
cos^5(x) = cos^4(x) cdot cos(x)

Passo 3

Agora, vamos reescrever cos^4(x) usando a identidade trigonométrica cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Então:
cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = (1 - sin^2(x))^2
Isso simplifica nossa integral para:
integral sin^4(x) (1 - sin^2(x))^2 cos(x) , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
Assim, nossa integral fica em termos de u:
integral u^4 (1 - u^2)^2 , du

Passo 5

Agora, vamos expandir o termo (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Substituindo na integral:
integral (u^4 - 2u^6 + u^8) , du

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^4 , du - 2 integral u^6 , du + integral u^8 , du
Calculando cada uma:
  • integral u^4 , du = u^55
  • 2 integral u^6 , du = 2 cdot u^77 = 2u^77
  • integral u^8 , du = u^99
Então, a integral fica:
u^55 - 2u^77 + u^99 + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x, lembrando que u = sin(x):
sin^5(x)5 - 2sin^7(x)7 + sin^9(x)9 + C

Resposta

A integral é igual a
sin^5(x)5 - 2,sin^7(x)7 + sin^9(x)9 + C

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