Determine se as seguintes integrais impróprias convergem ou divergem e calcule o seus valores em casos de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral imprópria
. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais definidas com limites de integração infinitos ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e avaliar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar o trabalho com o limite infinito. Sabemos que
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral indefinida
. Podemos fazer uma substituição simples: seja
, então
ou
. Substituindo:
Então, a primitiva de
é
.
Passo 4
Com a primitiva em mãos, vamos avaliar a integral definida de
até
:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite quando
tende a
:
Observamos que quando
vai para
,
também vai para
, então
.
Passo 6
Portanto, o limite fica:
Isso significa que a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.