Determine se as seguintes integrais impróprias convergem ou divergem e calcule o seus valores em casos de convergência: integral-infty^3 1(2-x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral imprópria integral-infty^3 1(2-x)^2 , dx. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais definidas com limites de integração infinitos ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e avaliar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar o trabalho com o limite infinito. Sabemos que integral-infty^3 f(x) , dx = lima to -infty integrala^3 f(x) , dx. Então, nossa integral fica:
lima to -infty integrala^3 1(2 - x)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral indefinida integral 1(2 - x)^2 , dx. Podemos fazer uma substituição simples: seja u = 2 - x, então du = -dx ou dx = -du. Substituindo:
integral 1u^2 cdot (-du) = -integral u^-2 , du = -( u^-1-1 ) + C = 1u + C = 12 - x + C
Então, a primitiva de 1(2 - x)^2 é 12 - x.

Passo 4

Com a primitiva em mãos, vamos avaliar a integral definida de a até 3:
integrala^3 1(2 - x)^2 , dx = [ 12 - x ]a^3 = 12 - 3 - 12 - a = 1-1 - 12 - a = -1 - 12 - a

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando a tende a -infty:
lima to -infty ( -1 - 12 - a ) = -1 - lima to -infty 12 - a
Observamos que quando a vai para -infty, 2 - a também vai para +infty, então 12 - a to 0.

Passo 6

Portanto, o limite fica:
-1 - 0 = -1
Isso significa que a integral converge e seu valor é -1.

Resposta

A integral imprópria integral-infty^3 1(2 - x)^2 , dx converge e seu valor é -1.

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