Encontre as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:
integral arctg raizxraizx d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular
I = integral arctan!raizxraizx ,dx
O plano é primeiro fazer a substituição t=raizx para simplificar a raiz, e em seguida usar integração por partes para a integral que aparecer.

Passo 2

Fazendo t = raizx, temos x = t^2 e dx = 2t,dt. Portanto
I = integral arctan(t)t,(2t,dt) = 2 integral arctan(t),dt

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em integral arctan(t),dt. Escolhemos
u = arctan(t), dv = dt Longrightarrow du = dt1+t^2, v = t
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integral arctan(t),dt = t,arctan(t) - integral t1+t^2,dt

Passo 4

Para a integral integral t1+t^2,dt usamos a substituição interna w=1+t^2, mas observe que
integral t1+t^2,dt = 12 integral 2t1+t^2,dt = 12 ln!l(1+t^2r) + C
Portanto
integral arctan(t),dt = t,arctan(t) - 12 ln!l(1+t^2r) + C

Passo 5

Voltando à integral original:
I = 2 integral arctan(t),dt = 2l(t,arctan(t) - tfrac12ln(1+t^2)r) + C = 2t,arctan(t) - ln!l(1+t^2r) + C
Como t=raizx, concluímos
boxedI = 2raizx,arctan!l(raizxr) ;-;ln!l(1+xr)+C

Resposta

integral arctanraizxraizx,dx = 2raizx,arctan!l(raizxr) ;-;ln!l(1+xr)+C

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