Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular uma integral trigonométrica do tipo:
Onde
e
são números que satisfazem a condição
. Esse tipo de integral aparece frequentemente em problemas de física e engenharia, especialmente em situações envolvendo movimentos circulares ou ondas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e identificar uma fórmula padrão que nos ajudará.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a estrutura da integral. Temos no denominador uma expressão
, que é uma função periódica devido ao termo
. Integrar essa função no intervalo de
a
significa que estamos calculando a área sob a curva dessa função em uma volta completa.
Uma técnica útil para resolver integrais desse tipo é utilizar uma substituição que simplifique a expressão trigonométrica. Neste caso, vamos lembrar da seguinte fórmula padrão de integração:
Para chegar a essa fórmula, normalmente se utiliza a substituição de
, que transforma a integral trigonométrica em uma integral racional, mais fácil de resolver. Porém, como essa é uma fórmula conhecida, podemos aplicá-la diretamente.
Passo 3
Aplicando a fórmula padrão que mencionamos, basta substituir os valores de
e
na expressão final. Como a condição
é satisfeita, não teremos problemas com a raiz quadrada no denominador.
Portanto, temos:
Essa é a solução direta para a integral proposta, utilizando a fórmula que simplifica o cálculo.