Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral0^2 pi d theta(a+b cos theta), com a>b>0.
Resposta: 2 piraiza^2-b^2 ^110

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular uma integral trigonométrica do tipo:
integral0^2 pi d thetaa + b cos theta
Onde a e b são números que satisfazem a condição a > b > 0. Esse tipo de integral aparece frequentemente em problemas de física e engenharia, especialmente em situações envolvendo movimentos circulares ou ondas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e identificar uma fórmula padrão que nos ajudará.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a estrutura da integral. Temos no denominador uma expressão a + b cos theta, que é uma função periódica devido ao termo cos theta. Integrar essa função no intervalo de 0 a 2pi significa que estamos calculando a área sob a curva dessa função em uma volta completa.
Uma técnica útil para resolver integrais desse tipo é utilizar uma substituição que simplifique a expressão trigonométrica. Neste caso, vamos lembrar da seguinte fórmula padrão de integração:
integral0^2pi dthetaa + b cos theta = 2piraiza^2 - b^2
Para chegar a essa fórmula, normalmente se utiliza a substituição de t = tan(theta2), que transforma a integral trigonométrica em uma integral racional, mais fácil de resolver. Porém, como essa é uma fórmula conhecida, podemos aplicá-la diretamente.

Passo 3

Aplicando a fórmula padrão que mencionamos, basta substituir os valores de a e b na expressão final. Como a condição a > b > 0 é satisfeita, não teremos problemas com a raiz quadrada no denominador.
Portanto, temos:
integral0^2pi dthetaa + b cos theta = 2piraiza^2 - b^2
Essa é a solução direta para a integral proposta, utilizando a fórmula que simplifica o cálculo.

Resposta

2 piraiza^2 - b^2

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