Resolva o PVI
y^prime prime-6 y^prime+8 y=sen t, y(0)=y^prime(0)=0
sem usar transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 6y' + 8y = sen t, y(0)=0,;y'(0)=0
Este é um EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Vamos usar o princípio da superposição: 1) achar a solução geral da homogênea e 2) encontrar uma solução particular, 3) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' - 6y' + 8y = 0
escrevemos a equação caracterísica
r^2 -6r +8 =0
Suas raízes são
r = 2, r = 4
Portanto a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^4t,

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
Então
Substituindo em
Logo o sistema é
Da segunda equação vem (B = \tfrac{6}{7}A]. Substituindo na primeira,

Assim

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^4t + 785sin t + 685cos t

Passo 5

Impondo y(0)=0 e y'(0)=0:
  1. Em t=0:
y(0)=C1 + C2 + 685 = 0 ;Longrightarrow; C1 + C2 = -685
  1. Derivando
y'(t)=2C1 e^2t+4C2 e^4t +785cos t - 685sin t,
em t=0
y'(0)=2C1 + 4C2 + 785 = 0 ;Longrightarrow; 2C1 +4C2 = -785
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = -tfrac685, 2C1 +4C2 = -tfrac785,
encontramos
C1 = -110, C2 = 134

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução do PVI.

Resposta

y(t) = -110e^2t + 134e^4t + 785sin t + 685cos t

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