Resolva o PVI
y^prime prime-6 y^prime+8 y=sen t, y(0)=y^prime(0)=0
Usando transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' - 6y' + 8y = sin t, y(0)=0,;y'(0)=0
usando transformada de Laplace. O conteúdo que vamos usar inclui as fórmulas
Ly'(s)=sY(s)-y(0),
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
além de decomposição em frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados e lembrando que y(0)=y'(0)=0, temos
l[s^2Y(s)r] - 6l[sY(s)r] + 8Y(s) = Lsin t(s) = 1s^2+1
Agrupando em Y(s),
Y(s)l(s^2 - 6s + 8r) = 1s^2+1

Passo 3

Fatorando o polinômio do lado esquerdo:
s^2 - 6s + 8 = (s-2)(s-4),
segue que
Y(s) = 1(s^2+1)(s-2)(s-4)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
1(s^2+1)(s-2)(s-4) = A,s + Bs^2+1 + Cs-2 + Ds-4
Multiplicando tudo por (s^2+1)(s-2)(s-4) e igualando coeficientes obtém-se
A = 685, B = 785, C = -110, D = 134
Portanto
Y(s) = tfrac685,s + tfrac785s^2+1 - 110,1s-2 + 134,1s-4

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
  • L^-1ltfrac685,tfracss^2+1r = tfrac685cos t,
  • L^-1ltfrac785,tfrac1s^2+1r = tfrac785sin t,
  • L^-1-(1/10),(s-2)^-1 = -tfrac110e^2t,
  • L^-1(1/34),(s-4)^-1 = tfrac134e^4t.
Logo
y(t) = 685cos t + 785sin t - 110e^2t + 134e^4t

Resposta

y(t) = 685cos t + 785sin t - 110e^2t + 134e^4t

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