Encontre a transformada de Laplace inversa de
2 s-1(s^2-1)(4 s^2+4 s+5)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
2s-1(s^2-1),(4s^2+4s+5)
O conteúdo principal é decompor em frações parciais e depois usar fórmulas padrão de inversão de Laplace.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais clássica:
2s-1(s-1)(s+1)(4s^2+4s+5) =As-1+Bs+1+Cs+D4s^2+4s+5
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)(4s^2+4s+5) e juntando termos de igual grau em s, obtemos um sistema linear para A,B,C,D.

Passo 3

Ao igualar coeficientes, chega-se a
4A+4B+C=0, 8A+D=0, 9A+B-C=2, 5A-5B-D=-1
Resolvendo:
A=126, B=310, C=-8865, D=-413

Passo 4

Reescrevemos o termo quadrático completando quadrado:
4s^2+4s+5 =4l((s+tfrac12)^2+1r)
E nota-se que
Cs+D =-8865,s-413 =-8865l(s+tfrac12r) +2465
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Cs+D4s^2+4s+5 =-2265,s+tfrac12(s+tfrac12)^2+1 +665,1(s+tfrac12)^2+1

Passo 5

Agora invertemos termo a termo usando
L^-1!l[1s-ar]=e^at, L^-1!l[s+a(s+a)^2+b^2r]=e^-atcos(bt), L^-1!l[b(s+a)^2+b^2r]=e^-atsin(bt)
Assim:
1261s-1;longrightarrow;126e^t, 3101s+1;longrightarrow;310e^-t,
-2265s+tfrac12(s+tfrac12)^2+1 ;longrightarrow; -2265e^-t/2cos t,
6651(s+tfrac12)^2+1 ;longrightarrow; 665e^-t/2sin t

Resposta

f(t) =126e^t +310e^-t -2265e^-t/2cos t +665e^-t/2sin t

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