Prove os limites de duas maneiras, empregando o Teorema do Confronto ou o Corolário 2.30.
lim x 0 x^n sen 1x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto 0 x^n,sin!l(tfrac1xr)=0
usando duas abordagens: o Teorema do Confronto e o Corolário 2.30. O conteúdo principal é limite de produto de funções, sabendo que sin(1/x) é limitada e x^nto0.

Passo 2

Prova pelo Teorema do Confronto. Observamos que
-1<=sin!l(tfrac1xr)<=1
para todo xneq0. Multiplicando por x^n (e lembrando que |x^n|=|x|^n), obtemos
-|x|^n;<=;x^n,sin!l(tfrac1xr);<=;|x|^n
Como
limxto0-|x|^n=0=limxto0|x|^n,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto0x^nsin(1/x)=0.

Passo 3

Prova pelo Corolário 2.30. Definimos
f(x)=sin!l(tfrac1xr) e g(x)=x^n.
Temos que f é limitada, pois |f(x)|<=1 em todo ponto xneq0, e que
limxto0g(x)=0.
O Corolário 2.30 diz que se f é limitada perto de 0 e g(x)to0, então
f(x),g(x)to 0.
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limxto0x^nsin(1/x)=0.

Resposta

0

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