Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y} 1 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y} 1\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração mais interna é z com 0\le z\le x+y.
  • A variável do meio é y com 0\le y\le x.
  • A variável externa é x com 0\le x\le 2.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Entendendo o que a integral faz (uma mini-aula rápida e prática). Quando temos uma integral tripla de uma função constante 1 sobre uma região, o valor da integral é simplesmente o volume da região no espaço (x,y,z). Aqui a integral está escrita de forma iterada, o que nos diz a ordem de integração: primeiro integrar em z, depois em y e por fim em x. Isso significa que para cada par (x,y) fixo com 0\le y\le x e 0\le x\le 2 a altura em z vale x+y. Então vamos seguir a ordem dada e integrar passo a passo.
Primeiro passo de cálculo: integrar em z. Como integrando é 1,
\int_{0}^{x+y} 1\,dz = \big[z\big]_{0}^{x+y} = x+y.

Passo 3

Agora a integral fica dupla em y e x:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} (x+y)\,dy\,dx.
Vamos calcular a integral interna em y. Separe em duas parcelas para ficar claro:
\int_{0}^{x} (x+y)\,dy = \int_{0}^{x} x\,dy + \int_{0}^{x} y\,dy.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{x} x\,dy = x\cdot \big[y\big]_{0}^{x} = x\cdot x = x^{2},
\int_{0}^{x} y\,dy = \bigg[\frac{y^{2}}{2}\bigg]_{0}^{x} = \frac{x^{2}}{2}.
Somando,
\int_{0}^{x} (x+y)\,dy = x^{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{3}{2}x^{2}.

Passo 4

Agora resta a integral em x:
\int_{0}^{2} \frac{3}{2}x^{2}\,dx.
Calcule:
\int_{0}^{2} \frac{3}{2}x^{2}\,dx = \frac{3}{2}\cdot \bigg[\frac{x^{3}}{3}\bigg]_{0}^{2} = \frac{3}{2}\cdot \frac{2^{3}}{3} = \frac{3}{2}\cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{2} = 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados