Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas:
- A variável de integração mais interna é
com . - A variável do meio é
com . - A variável externa é
com .
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral iterada.
Passo 2
Entendendo o que a integral faz (uma mini-aula rápida e prática). Quando temos uma integral tripla de uma função constante
sobre uma região, o valor da integral é simplesmente o volume da região no espaço
. Aqui a integral está escrita de forma iterada, o que nos diz a ordem de integração: primeiro integrar em
, depois em
e por fim em
. Isso significa que para cada par
fixo com
e
a altura em
vale
. Então vamos seguir a ordem dada e integrar passo a passo.
Primeiro passo de cálculo: integrar em
. Como integrando é
,
Passo 3
Agora a integral fica dupla em
e
:
Vamos calcular a integral interna em
. Separe em duas parcelas para ficar claro:
Calcule cada termo:
Somando,
Passo 4
Agora resta a integral em
:
Calcule: