Calcule as seguintes integrais triplas:
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a bola de raio 1 em
, ou seja
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas esféricas para integrar funções radiais em bolas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
com
,
,
, e o jacobiano é
. Além disso
portanto a integral vira
Passo 3
Separamos a parte angular e a radial. A integral em
e
é
Logo fica
Passo 4
Para a parte radial use a substituição
, de modo que
e
. Quando
vai de 0 a 1,
vai de 0 a 1. Assim
Multiplicando pelo fator
obtemos