Calcule as seguintes integrais triplas:
integral triplaW e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z onde W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaW e^l(x^2+y^2+z^2r)^3/2,dx,dy,dz
onde W é a bola de raio 1 em R^3, ou seja
W=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=1
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas esféricas para integrar funções radiais em bolas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
com rin[0,1], phiin[0,pi], thetain[0,2pi], e o jacobiano é r^2sinphi. Além disso
x^2+y^2+z^2=r^2,
portanto a integral vira
integral triplaW e^(r^2)^3/2,dx,dy,dz =integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^1 e^r^3;r^2sinphi;dr,dphi,dtheta

Passo 3

Separamos a parte angular e a radial. A integral em theta e phi é
integral0^2pidtheta;integral0^pisinphi,dphi =2picdot 2 =4pi
Logo fica
4pi integral0^1 r^2e^r^3,dr

Passo 4

Para a parte radial use a substituição u=r^3, de modo que du=3r^2dr e r^2dr=du/3. Quando r vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim
integral0^1r^2e^r^3,dr =integral0^1e^u,du3 =13l[e^ur]0^1 =13(e-1)
Multiplicando pelo fator 4pi obtemos
4picdot 13(e-1)=4pi3(e-1)

Resposta

integral triplaW e^l(x^2+y^2+z^2r)^3/2,dx,dy,dz =4pi3,(e-1)

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