Uma floricultura possui 180 rosas e 200 cravos.
Resolva a equação diofantina 7 x+19 y=10.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
7x + 19y = 10
O conteúdo necessário é:
  1. Saber que uma equação ax+by=c tem solução inteira se, e somente se, gcd(a,b) divide c.
  2. Usar o algoritmo de Euclides estendido para achar uma solução particular.
  3. Escrever a solução geral.

Passo 2

Calcular gcd(7,19) pelo algoritmo de Euclides:
19 &= 7cdot2 + 5, 7 &= 5cdot1 + 2, 5 &= 2cdot2 + 1, 2 &= 1cdot2 + 0
Como o último resto não nulo é 1, temos gcd(7,19)=1. Como 1 divide 10, a equação tem solução inteira.

Passo 3

Fazer o “back-substitution” para expressar 1 como combinação de 7 e 19:
1 &= 5 - 2cdot2, 2 &= 7 - 5cdot1 Longrightarrow 1 = 5 - 2(7 - 5) = 5cdot3 - 7cdot2, 5 &= 19 - 7cdot2 Longrightarrow 1 = (19 - 7cdot2)cdot3 - 7cdot2 = 19cdot3 - 7cdot8
Logo
1 = 19cdot3 + 7cdot(-8)
Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos uma solução particular de
7x + 19y = 10: x0 = -8cdot10 = -80, y0 = 3cdot10 = 30

Passo 4

A solução geral da equação 7x + 19y = 10 é dada por
x = x0 + 19gcd(7,19),k, y = y0 - 7gcd(7,19),k,
com kinZ. Como gcd(7,19)=1, temos
x = -80 + 19k, y = 30 - 7k, kinZ

Resposta

Todas as soluções inteiras de 7x+19y=10 são
boxedx = -80 + 19k, y = 30 - 7k, kinZ

Exercícios relacionados