De quantas maneiras diferentes podemos comprar objetos que custam
3,00
\mathrm{R}
de modo a gastar exatamente
80,00$ ?
Passo 1
Resumindo o problema: temos infinitos objetos de preço
e
e queremos gastar exatamente
. Matematicamente, sejam
e
as quantidades compradas de cada um, temos a equação diofantina
com
inteiros. Vamos usar teoria de equações lineares em inteiros para contar quantas soluções existem.
Passo 2
Primeiro, garantimos que haja solução inteira verificando o máximo divisor comum:
e
divide
, logo soluções existem.
Passo 3
Isolamos
:
Para
ser inteiro, o numerador deve ser múltiplo de
. Como
e
, temos
Passo 4
Portanto podemos escrever
com
inteiro. Substituindo em
:
Passo 5
Impondo
e
:
e
Logo
, gerando exatamente
soluções.
Resposta
Existem
maneiras diferentes.