De quantas maneiras diferentes podemos comprar objetos que custam R 3,00 e \mathrm{R} 8,00 de modo a gastar exatamente R 80,00$ ?

Passo 1

Resumindo o problema: temos infinitos objetos de preço R$ 3,00 e R$ 8,00 e queremos gastar exatamente R$ 80,00. Matematicamente, sejam x e y as quantidades compradas de cada um, temos a equação diofantina
3x + 8y = 80,
com x,y>=0 inteiros. Vamos usar teoria de equações lineares em inteiros para contar quantas soluções existem.

Passo 2

Primeiro, garantimos que haja solução inteira verificando o máximo divisor comum:
gcd(3,8)=1
e 1 divide 80, logo soluções existem.

Passo 3

Isolamos x:
x = 80 - 8y3
Para x ser inteiro, o numerador deve ser múltiplo de 3. Como 80equiv2pmod3 e 8equiv2pmod3, temos
80 - 8y equiv 2 - 2y equiv 0 pmod3 Longrightarrow 2y equiv 2 pmod3 Longrightarrow yequiv1pmod3

Passo 4

Portanto podemos escrever
y = 1 + 3k,
com k inteiro. Substituindo em x:
x = 80 - 8(1+3k)3 = 80 - 8 - 24k3 = 72 - 24k3 =24 - 8k

Passo 5

Impondo x>=0 e y>=0:
24 - 8k >= 0 Longrightarrow k <= 3,
e
1 + 3k >= 0 Longrightarrow k >= 0
Logo kin0,1,2,3, gerando exatamente 4 soluções.

Resposta

Existem 4 maneiras diferentes.

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