Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Existe um rearranjo de
que converge para
.
Existe um rearranjo de
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para saber se uma certa afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que existe um jeito de rearranjar os termos da série alternada
de forma que ela converja para
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e o que acontece quando rearranjamos os termos delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série
é conhecida como a série harmônica alternada. Ela é condicionalmente convergente, ou seja, converge, mas se a gente mudar a ordem dos termos, pode mudar o valor para o qual ela converge ou até mesmo fazer com que ela não converge mais.
Passo 3
Aqui entra o Teorema de Riemann sobre rearranjamentos. Esse teorema diz que se uma série é condicionalmente convergente, dá para rearranjar os seus termos de tal forma que a série rearranjada possa convergir para qualquer número real que a gente quiser, ou até mesmo divergir.
Passo 4
Aplicando esse teorema à nossa série harmônica alternada, sabemos que ela é condicionalmente convergente. Portanto, de acordo com o Teorema de Riemann, existe sim um rearranjo dos seus termos que faz com que a série converja para
.
Resposta
Verdadeiro. Existe um rearranjo da série
que converge para
.