Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Existe um rearranjo de sumn=1^infty(-1)^n 1n que converge para raiz2.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para saber se uma certa afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que existe um jeito de rearranjar os termos da série alternada de forma que ela converja para . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e o que acontece quando rearranjamos os termos delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série é conhecida como a série harmônica alternada. Ela é condicionalmente convergente, ou seja, converge, mas se a gente mudar a ordem dos termos, pode mudar o valor para o qual ela converge ou até mesmo fazer com que ela não converge mais.

Passo 3

Aqui entra o Teorema de Riemann sobre rearranjamentos. Esse teorema diz que se uma série é condicionalmente convergente, dá para rearranjar os seus termos de tal forma que a série rearranjada possa convergir para qualquer número real que a gente quiser, ou até mesmo divergir.

Passo 4

Aplicando esse teorema à nossa série harmônica alternada, sabemos que ela é condicionalmente convergente. Portanto, de acordo com o Teorema de Riemann, existe sim um rearranjo dos seus termos que faz com que a série converja para .

Resposta

Verdadeiro. Existe um rearranjo da série que converge para .

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