A densidade rho(x, y) em uma placa retangular é dada por rho(x, y) = 1 / raiz(x^2 + y^2 + 3). Calcule a direção e o valor da maior taxa de variação de rho em (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a densidade em uma placa retangular: . Nosso objetivo é descobrir qual é a direção e o valor da maior taxa de variação dessa densidade no ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior variação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de rho em relação a x e y. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
A função é:
Vamos derivar em relação a x:
Agora, derivamos em relação a y:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto específico .
Primeiro, calculamos o denominador:
Então,

Passo 4

O vetor gradiente de rho no ponto é dado por:
A magnitude do gradiente, que representa a maior taxa de variação, é calculada por:

Passo 5

A direção da maior taxa de variação é a direção do vetor gradiente. Para encontrá-la em termos de ângulo ou vetor unitário, vamos normalizar o gradiente.
O vetor gradiente é . A direção unitária é:

Resposta

A maior taxa de variação da densidade em é , e ela ocorre na direção do vetor .

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