A densidade
em uma placa retangular é dada por
. Calcule a direção e o valor da maior taxa de variação de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a densidade em uma placa retangular:
. Nosso objetivo é descobrir qual é a direção e o valor da maior taxa de variação dessa densidade no ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior variação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
A função é:
Vamos derivar em relação a
:
Agora, derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto específico
.
Primeiro, calculamos o denominador:
Então,
Passo 4
O vetor gradiente de
no ponto
é dado por:
A magnitude do gradiente, que representa a maior taxa de variação, é calculada por:
Passo 5
A direção da maior taxa de variação é a direção do vetor gradiente. Para encontrá-la em termos de ângulo ou vetor unitário, vamos normalizar o gradiente.
O vetor gradiente é
. A direção unitária é:
Resposta
A maior taxa de variação da densidade em
é
, e ela ocorre na direção do vetor
.