Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:
1 - (d)
onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
no primeiro octante.
1 - (d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região no primeiro octante limitada pelo cilindro
, pelo plano
, pelo plano
e pelo plano
. O conteúdo é mudança de ordem de integração em coordenadas retangulares (ou uso de coordenadas cilíndricas em
–
). Vamos primeiro descrever os limites em coordenadas retangulares.
Passo 2
Na projeção sobre o plano
–
, a região é o quarto de círculo de raio 3 em
,
, isto é
Para cada
fixo,
varia de
até o plano
, ou seja
Passo 3
Escrevendo a integral iterada em ordem
, temos
Integramos primeiro em
:
Então a integral reduz-se a
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição trigonométrica
, com
,
, e
vai de
a
. Assim
Mas
, e
Logo
Voltando ao fator
, obtemos