Calcule as seguintes integrais triplas iteradas:
1 - (d)
integral duplaR y d V onde R é a região limitada pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=3 x e z=0 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaR y ,dV
onde R é a região no primeiro octante limitada pelo cilindro y^2+z^2=9, pelo plano x=0, pelo plano y=3x e pelo plano z=0. O conteúdo é mudança de ordem de integração em coordenadas retangulares (ou uso de coordenadas cilíndricas em y z). Vamos primeiro descrever os limites em coordenadas retangulares.

Passo 2

Na projeção sobre o plano y z, a região é o quarto de círculo de raio 3 em y>=0, z>=0, isto é
0 <= y <= 3, 0 <= z <= raiz9-y^2
Para cada (y,z) fixo, x varia de x=0 até o plano y=3x, ou seja
0 <= x <= y3

Passo 3

Escrevendo a integral iterada em ordem dx,dz,dy, temos
integral triplaR y,dV =integraly=0^3 integralz=0^raiz9-y^2 integralx=0^y/3 y ;dx;dz;dy
Integramos primeiro em x:
integral0^y/3y,dx =yl[xr]0^y/3 =ycdoty3 =y^23
Então a integral reduz-se a
integral0^3!integral0^raiz9-y^2y^23,dz,dy =13integral0^3y^2l[integral0^raiz9-y^2dzr]dy =13integral0^3y^2raiz9-y^2,dy

Passo 4

Para calcular
integral0^3y^2raiz9-y^2,dy
fazemos a substituição trigonométrica y=3sintheta, com dy=3costheta,dtheta, raiz9-y^2=3costheta, e theta vai de 0 a tfracpi2. Assim
integral0^3y^2raiz9-y^2,dy =integral0^pi/29sin^2theta,(3costheta),(3costheta),dtheta =81integral0^pi/2sin^2thetacos^2theta,dtheta
Mas sin^2thetacos^2theta=tfrac14sin^22theta, e
integral0^pi/2sin^22theta,dtheta =12integral0^pisin^2u,du =12cdotpi2 =pi4
Logo
integral0^3y^2raiz9-y^2,dy =81cdot14cdotpi4 =81pi16
Voltando ao fator tfrac13, obtemos
integral triplaRy,dV =13cdot81pi16 =27pi16

Resposta

integral triplaRy,dV = 27pi16

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