Questão 33. Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
h(u)=u ln u

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade e os pontos de inflexão de h(u)=uln u. Para isso vamos usar derivadas: a concavidade vem do sinal da segunda derivada, e pontos de inflexão são onde essa segunda derivada muda de sinal.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de definição: como aparece ln u, temos u>0. Agora calculamos as derivadas:
h'(u)=ddul(uln ur)=ln u +1,
h''(u)=ddul(ln u +1r)=1u

Passo 3

Estudamos o sinal de h''(u). Para todo u>0 vale
h''(u)=1u>0
Como a segunda derivada é positiva em todo o domínio, a função é côncava para cima em (0,infty).

Passo 4

Ponto de inflexão ocorre onde h''(u)=0 ou muda de sinal. Aqui h''(u)=1/u nunca é zero e não muda de sinal no domínio u>0. Logo não há ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para cima em todo o seu domínio (0,infty) e não possui pontos de inflexão.

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