Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
integral 4 d xx^4-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 4,dxx^4-1 usando frações parciais; o conteúdo é integração de funções racionais e vamos precisar factorar o denominador e decompor em frações simples antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^4-1. Sabemos que a^2-b^2=(a-b)(a+b), então
x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)

Passo 3

Em seguida, montamos a decomposição em frações parciais. Como temos fatores lineares (x-1),(x+1) e um quadrático irreduzível (x^2+1), escrevemos
4x^4-1=Ax-1+Bx+1+Cx+Dx^2+1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1)(x^2+1) para juntar tudo num polinômio:
4=A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-1)

Passo 5

Expandindo e agrupando em potências de x, obtemos o sistema
$$\begin{cases}x3:&A+B+C=0,\x2:&A-B+D=0,\x1:&A+B-C=0,\x0:&A-B-D=4.
\end{cases}$$

Passo 6

Resolvendo esse sistema: das duas primeiras equações vemos que B=-A e C=0. Substituindo em A-B+D=0 D=-2A, e em A-B-D=4 obtém-se A=1. Logo B=-1, C=0 e D=-2. Assim a decomposição final é
$$\frac{4}{x4-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x2+1}.
$$

Passo 7

Por fim, integramos termo a termo usando integral!dxxpm a=ln|xpm a| e integral!dxx^2+1=arctan x:
$$\int\frac{4,dx}{x4-1}=\int\frac{dx}{x-1}-\int\frac{dx}{x+1}-2\int\frac{dx}{x2+1} \\ =\ln|x-1| -\ln|x+1| -2\arctan x + C.
$$

Resposta

lnl|tfracx-1x+1r| - 2arctan x + C

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