Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando frações parciais; o conteúdo é integração de funções racionais e vamos precisar factorar o denominador e decompor em frações simples antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador
. Sabemos que
, então
Passo 3
Em seguida, montamos a decomposição em frações parciais. Como temos fatores lineares
e um quadrático irreduzível
, escrevemos
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para juntar tudo num polinômio:
Passo 5
Expandindo e agrupando em potências de
, obtemos o sistema
$$\begin{cases}x3:&A+B+C=0,\x2:&A-B+D=0,\x1:&A+B-C=0,\x0:&A-B-D=4.
\end{cases}$$
Passo 6
Resolvendo esse sistema: das duas primeiras equações vemos que
e
. Substituindo em
dá
, e em
obtém-se
. Logo
,
e
. Assim a decomposição final é
$$\frac{4}{x4-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x2+1}.
$$
Passo 7
Por fim, integramos termo a termo usando
e
:
$$\int\frac{4,dx}{x4-1}=\int\frac{dx}{x-1}-\int\frac{dx}{x+1}-2\int\frac{dx}{x2+1} \\ =\ln|x-1| -\ln|x+1| -2\arctan x + C.
$$