Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
[4]
integral arccos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral arccos(2x),dx
usando o método de integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e precisar da derivada de arccos(2x).

Passo 2

Escolhemos
u = arccos(2x), dv = dx
Então
du = ddxl[arccos(2x)r],dx = -2raiz1-(2x)^2,dx = -2raiz1-4x^2,dx,
e
v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral arccos(2x),dx = u,v - integral v,du = x,arccos(2x) - integral xl(-2raiz1-4x^2r),dx = x,arccos(2x) + 2integral xraiz1-4x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral xraiz1-4x^2,dx, façamos t = 1-4x^2. Então
dt = -8x,dx Longrightarrow x,dx = -18,dt
Logo
integral xraiz1-4x^2,dx = integral -tfrac18,dtraizt = -18integral t^-tfrac12,dt = -18cdot 2,t^tfrac12 = -14raizt = -14raiz1-4x^2
Substituindo de volta:
integral arccos(2x),dx = x,arccos(2x) + 2l(-tfrac14raiz1-4x^2r) = x,arccos(2x) - tfrac12raiz1-4x^2 + C

Resposta

boxedintegral arccos(2x),dx = x,arccos(2x) - tfrac12raiz1-4x^2 + C

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