(a) Mostre que nenhum número da forma 4 n+2 é um quadrado.
(b) Mostre que nenhum dos números 66,666,6666, ldots é um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que nenhum inteiro da forma 4n+2 é um quadrado perfeito.
  2. Mostrar que nenhum dos números formados por repetições do dígito 6 — ou seja, 6,;66,;666,;6666,dots — é um quadrado.
    O conteúdo principal envolve aritmética modular (restos de quadrados módulo 4) e expressão fechada para esses números.

Passo 2

Recordemos os restos possíveis de um quadrado inteiro módulo 4. Se m é inteiro, então m é par ou ímpar:
  • Se m=2k, então m^2=(2k)^2=4k^2equiv0pmod4
  • Se m=2k+1, então m^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1equiv1pmod4
Logo, todo quadrado satisfaz
m^2equiv0ou1pmod4
Em particular, nenhum quadrado pode ser congruente a 2 módulo 4. Assim concluímos a parte (a): nenhum número da forma 4n+2 é um quadrado.

Passo 3

Agora consideremos o número com k dígitos todos iguais a 6. Chamemos
Nk = underbrace66dots6k vezes
Podemos escrever
Nk = 6 + 60 + 600 + cdots + 6cdot10^,k-1 = 6sumi=0^k-110^i =6,10^k-110-1 = 69,(10^k-1) =2,10^k-13
Como 10equiv1pmod3, temos 10^kequiv1pmod3 e então 3mid(10^k-1), garantindo que Nk é inteiro.

Passo 4

Vamos agora ver o resto de Nk módulo 4. Para k>=1,
10equiv2pmod4Longrightarrow10^kequiv2^kpmod4
Se k>=2, então 2^kequiv0pmod4, logo 10^kequiv0pmod4 e
10^k -1 equiv -1equiv3pmod4
Como gcd(3,4)=1, seja x=(10^k-1)/3 inteiro; temos
x equiv 3cdot3^-1pmod4 onde 3^-1equiv3pmod4,
logo xequiv3cdot3equiv9equiv1pmod4. Portanto
Nk = 2xequiv2cdot1equiv2pmod4
No caso k=1 temos N1=6equiv2pmod4 direto. Assim, para todo k,
Nkequiv2pmod4,
isto é, Nk é da forma 4m+2.

Passo 5

Como mostramos na parte (a), nenhum número da forma 4m+2 pode ser um quadrado perfeito. Logo, para todo k>=1, o número underbrace66dots6k dígitosí não é um quadrado.

Resposta

(a) Já que todo quadrado é equiv0 ou 1pmod4, nenhum inteiro 4n+2 pode ser quadrado.
(b) Cada número 66dots6 tem resto 2 módulo 4, hence é da forma 4m+2 e, portanto, não é quadrado.

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