(a) Mostre que nenhum número da forma é um quadrado.
(b) Mostre que nenhum dos números é um quadrado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que nenhum inteiro da forma é um quadrado perfeito.
Mostrar que nenhum dos números formados por repetições do dígito 6 — ou seja,— é um quadrado.
O conteúdo principal envolve aritmética modular (restos de quadrados módulo 4) e expressão fechada para esses números.
Passo 2
Recordemos os restos possíveis de um quadrado inteiro módulo 4. Se é inteiro, então é par ou ímpar:
Se , então
Se , então
Logo, todo quadrado satisfaz
Em particular, nenhum quadrado pode ser congruente a módulo . Assim concluímos a parte (a): nenhum número da forma é um quadrado.
Passo 3
Agora consideremos o número com dígitos todos iguais a 6. Chamemos
Como 10equiv1pmod3, temos 10^kequiv1pmod3 e então 3mid(10^k-1), garantindo que Nk é inteiro.
Passo 4
Vamos agora ver o resto de Nk módulo 4. Para k>=1,
10equiv2pmod4Longrightarrow10^kequiv2^kpmod4
Se k>=2, então 2^kequiv0pmod4, logo 10^kequiv0pmod4 e
10^k -1 equiv -1equiv3pmod4
Como gcd(3,4)=1, seja x=(10^k-1)/3 inteiro; temos
x equiv 3cdot3^-1pmod4 onde 3^-1equiv3pmod4,
logo xequiv3cdot3equiv9equiv1pmod4. Portanto
Nk = 2xequiv2cdot1equiv2pmod4
No caso k=1 temos N1=6equiv2pmod4 direto. Assim, para todo k,
Nkequiv2pmod4,
isto é, Nk é da forma 4m+2.
Passo 5
Como mostramos na parte (a), nenhum número da forma 4m+2 pode ser um quadrado perfeito. Logo, para todo k>=1, o número underbrace66dots6k dígitosí não é um quadrado.
Resposta
(a) Já que todo quadrado é equiv0 ou 1pmod4, nenhum inteiro 4n+2 pode ser quadrado.
(b) Cada número 66dots6 tem resto 2 módulo 4, hence é da forma 4m+2 e, portanto, não é quadrado.