Sabendo que x in R, resolva log 3(1+x)-12 log 3 x=log 3 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log3(1+x) ;-;tfrac12log3x ;=;log32,
sabendo que xinR.
Conteúdo: propriedades de logaritmos (diferença e escala) e solução de equação algébrica.

Passo 2

Determinamos o domínio das expressões logarítmicas:
log3(1+x) exige 1+x>0, ou seja x>-1, e log3x exige x>0.
A interseção é
x>0

Passo 3

Usamos a propriedade
log3A ;-;log3B ;=;log3!l(tfracABr),
e também tfrac12log3x = log3(x^1/2).
Assim a equação vira
log3!l(1+xx^1/2r) =log32

Passo 4

Como log3(cdot) é bijetora em (0,infty), podemos igualar os argumentos:
1+xraizx = 2

Passo 5

Fazemos a substituição t=raizx com t>0. Então x=t^2 e a equação fica
1+t^2t=2 Longrightarrow 1+t^2 = 2t Longrightarrow t^2-2t+1=0 Longrightarrow (t-1)^2=0
logo t=1. Daí x=t^2=1.

Passo 6

Verificamos o domínio: x=1>0 satisfaz todas as condições.

Resposta

x=1

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