Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
[4]
integral 3^x cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3^xcos(x),dx
usando o método de integração por partes. Aqui precisamos lembrar que a derivada de 3^x é ln(3),3^x e aplicar duas vezes o método para obter uma equação que permita resolver a integral.

Passo 2

Definimos
I = integral 3^xcos(x),dx
Aplicando integração por partes em I com
u = 3^x, dv = cos(x),dx,
temos
du = ln(3),3^x,dx, v = sin(x),
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I = 3^xsin(x) - integral ln(3),3^xsin(x),dx = 3^xsin(x) - ln(3),underbraceintegral 3^xsin(x),dxJ

Passo 3

Chamamos
J = integral 3^xsin(x),dx
e aplicamos integração por partes de novo com
u = 3^x, dv = sin(x),dx
de modo que
du = ln(3),3^x,dx, v = -cos(x)
Fica então
J = -3^xcos(x) + integral ln(3),3^xcos(x),dx = -3^xcos(x) + ln(3),I

Passo 4

Voltando à expressão de I, substituímos J:
I = 3^xsin(x) - ln(3)l(-3^xcos(x) + ln(3),Ir) = 3^xsin(x) + ln(3),3^xcos(x) - ln^2(3),I
Reorganizando para isolar I:
I + ln^2(3),I = 3^xl(sin(x) + ln(3)cos(x)r),
Il(1 + ln^2(3)r) = 3^xl(sin(x) + ln(3)cos(x)r),
I = 3^x1 + ln^2(3)l(sin(x) + ln(3)cos(x)r) + C

Resposta

boxedintegral 3^xcos(x),dx = 3^x1 + ln^2(3)l(sin(x) + ln(3)cos(x)r) + C

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