(Fuvest/1996) Seja
o logaritmo de
na base
. a) Resolva
. b) Resolva a inequação
.
Passo 1
O enunciado define
e pede:
a) solucionar .
b) solucionar .
O conteúdo é logaritmo de argumento e base dependentes de , então vamos precisar:
a) solucionar
b) solucionar
O conteúdo é logaritmo de argumento e base dependentes de
- Encontrar o domínio de
. - Resolver a equação logarítmica em (a).
- Resolver a inequação logarítmica em (b), tratando separadamente os casos base maior ou menor que 1.
Passo 2
Determinamos o domínio de
:
- O argumento
exige , logo . - A base
deve satisfazer (sempre verdade) e , ou seja
Portanto o domínio é
Passo 3
Resolvendo
:
Elevando ao quadrado,
(nosso domínio exige
, e
).
Passo 4
Resolvendo
, ou seja
Há dois casos:
Caso 1: base
.
Isso ocorre se , ou seja
.
Como o logaritmo é crescente, exige-se
Isso ocorre se
Como o logaritmo é crescente, exige-se
O trinômio
tem raízes
e é negativo entre as raízes. Intersecção com
dá
Caso 2: base
.
Isso ocorre se , ou seja
.
Agora o logaritmo é decrescente, logo
Isso ocorre se
Agora o logaritmo é decrescente, logo
Esse trinômio é positivo para
ou
. Ao intersectar com
resta
Somando os dois casos, a solução de
é
Resposta
a)
b) ou
b)