(Fuvest/1996) Seja f(x) o logaritmo de 2 x na base x^2+1 / 2. a) Resolva f(x)=1 / 2. b) Resolva a inequação f(x)>1.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=log,x^2+tfrac12(2x)
e pede:
a) solucionar ,f(x)=tfrac12.
b) solucionar ,f(x)>1.
O conteúdo é logaritmo de argumento e base dependentes de x, então vamos precisar:
  1. Encontrar o domínio de f.
  2. Resolver a equação logarítmica em (a).
  3. Resolver a inequação logarítmica em (b), tratando separadamente os casos base maior ou menor que 1.

Passo 2

Determinamos o domínio de f:
  • O argumento 2x exige 2x>0, logo x>0.
  • A base b=x^2+tfrac12 deve satisfazer b>0 (sempre verdade) e bneq1, ou seja
x^2+tfrac12neq1Longrightarrow x^2neqtfrac12Longrightarrow xneqtfrac1raiz2
Portanto o domínio é
x>0,;xneqtfrac1raiz2

Passo 3

Resolvendo f(x)=tfrac12:
log,x^2+tfrac12(2x)=tfrac12 Long<=ftrightarrow l(x^2+tfrac12r)^tfrac12=2x
Elevando ao quadrado,
x^2+tfrac12=4x^2 Longrightarrow 3x^2=tfrac12 Longrightarrow x^2=tfrac16 Longrightarrow x=tfrac1raiz6
(nosso domínio exige x>0, e tfrac1raiz6neqtfrac1raiz2).

Passo 4

Resolvendo f(x)>1, ou seja
log,b(2x)>1, b=x^2+tfrac12
Há dois casos:
Caso 1: base b>1.
Isso ocorre se x^2+tfrac12>1, ou seja x>1/raiz2.
Como o logaritmo é crescente, exige-se
2x>(x^2+tfrac12)^1 Long<=ftrightarrow 2x>x^2+tfrac12 Long<=ftrightarrow x^2-2x+tfrac12<0
O trinômio x^2-2x+tfrac12 tem raízes
x=2pmraiz4-22=1pmtfrac1raiz2,
e é negativo entre as raízes. Intersecção com x>1/raiz2
1/raiz2<x<1+tfrac1raiz2
Caso 2: base 0<b<1.
Isso ocorre se x^2+tfrac12<1, ou seja 0<x<1/raiz2.
Agora o logaritmo é decrescente, logo
2x<(x^2+tfrac12) Long<=ftrightarrow x^2-2x+tfrac12>0
Esse trinômio é positivo para x<1-tfrac1raiz2 ou x>1+tfrac1raiz2. Ao intersectar com 0<x<1/raiz2 resta
0<x<1-tfrac1raiz2
Somando os dois casos, a solução de f(x)>1 é
0<x<1-tfrac1raiz2 cup 1/raiz2<x<1+tfrac1raiz2

Resposta

a) x=tfrac1raiz6
b) 0<x<1-tfrac1raiz2 ou 1/raiz2<x<1+tfrac1raiz2

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