Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
[4]
integral x sec (x) tg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x sec(x)tan(x),dx
usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as funções de modo a simplificar a integral restante:
u = x, dv = sec(x)tan(x),dx

Passo 3

Derivamos u e integramos dv:
du = dx, v = integral sec(x)tan(x),dx = sec(x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos
integral x sec(x)tan(x),dx = u,v - integral v,du = xsec(x) - integral sec(x),dx

Passo 5

Falta calcular integral sec(x),dx. Sabemos que
integral sec(x),dx = lnl|sec(x)+tan(x)r| + C
Logo a integral original fica
integral x sec(x)tan(x),dx = xsec(x) - lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

Resposta

integral x sec(x)tan(x),dx = xsec(x) - lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

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