(ITA/94-Adaptado) Sejam x e y números reais, positivos e ambos diferentes de 1 , satisfazendo o sistema: x^y=1 / y^2 e log x+log y=log (1 / raizx). Mostre que x, y subset] 0,4[.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as soluções positivas x e y (ambas diferentes de 1) do sistema
x^y = 1y^2,
log x + log y = log!l(1/raizxr)
satisfazem 0<x<4 e 0<y<4. O conteúdo que usaremos envolve propriedades de logaritmos (soma vira produto, mudança de base) e a ideia de que, se x>0, xneq1 e x^A = x^B, então A=B.

Passo 2

Começamos pela equação dos logaritmos. Como log(1/raizx) = -tfrac12log x, temos
log x + log y = -tfrac12log x
Isolando log y, obtemos
log y = -tfrac12log x - log x = -tfrac32,log x,
logo
y = x^-3/2

Passo 3

Substituímos agora y = x^-3/2 em x^y = 1/y^2. O lado direito fica
1y^2 = 1(x^-3/2)^2 = x^3
Assim a equação torna-se
x^,x^-3/2 = x^3

Passo 4

Como x>0 e xneq1, podemos igualar os expoentes:
x^-3/2 = 3
Isso dá
x^3/2 = tfrac13 Longrightarrow x = l(tfrac13r)^2/3 = 3^-2/3
Em seguida,
y = x^-3/2 = 3

Passo 5

Calculando numericamente, ,3^-2/3approx0,48, que está em (0,4), e y=3 também está em (0,4). Concluímos que
x,y = ,3^-2/3,,3subsetl]0,4r[

Resposta

x,ysubsetl]0,4r[.

Exercícios relacionados