(ITA/94-Adaptado) Sejam
e
números reais, positivos e ambos diferentes de 1 , satisfazendo o sistema:
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as soluções positivas
e
(ambas diferentes de 1) do sistema
satisfazem
e
. O conteúdo que usaremos envolve propriedades de logaritmos (soma vira produto, mudança de base) e a ideia de que, se
,
e
, então
.
Passo 2
Começamos pela equação dos logaritmos. Como
, temos
Isolando
, obtemos
logo
Passo 3
Substituímos agora
em
. O lado direito fica
Assim a equação torna-se
Passo 4
Como
e
, podemos igualar os expoentes:
Isso dá
Em seguida,
Passo 5
Calculando numericamente,
, que está em
, e
também está em
. Concluímos que