(Unicamp/96) Resolva o sistema
r log 2 x+log 4 y=4 x y=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
log2x + log4y = 4, xy = 8,
sujeito a x>0 e y>0. O conteúdo principal envolve propriedades de logaritmos (mudança de base e soma de logaritmos) e álgebra para sistemas.

Passo 2

Usamos a mudança de base para expressar log4y em termos de base 2:
log4y = log2ylog24 = log2y2
Substituindo em log2x + log4y = 4 obtemos
log2x + log2y2 = 4

Passo 3

Multiplicamos essa equação por 2:
2log2x + log2y = 8 Longrightarrow log2(x^2y) = 8 Longrightarrow x^2y = 2^8 = 256

Passo 4

Agora temos o sistema
x^2y = 256, xy = 8
Dividindo a primeira equação pela segunda dá
x^2yxy = x = 2568 = 32,
e então
y = 8x = 832 = 14

Resposta

x = 32,;y = 14.

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