Calcule as seguintes integrais usando o Método da Integração por Partes:
\int u d v=u \cdot v-\int v d u \quad \text { ou } \quad \int_{a}^{b} u d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u
\int \ln \left(x^{2}+4 x+5\right) d x

Passo 1

Temos que calcular
\int \ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)\,dx
O conteúdo aqui é o método da integração por partes. Vamos escolher u e dv de forma a simplificar a integral de um logaritmo.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Pela fórmula de partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtém-se
\int \ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr) - \int x\cdot\frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx.

Passo 4

No integrando racional fazemos divisão conveniente:
x(2x+4)=2(x^{2}+4x+5)\;-\;(4x+10),
logo
\frac{x(2x+4)}{x^{2}+4x+5} =2 \;-\;\frac{4x+10}{x^{2}+4x+5}.
Assim
\int x\frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx = \int\!\Bigl(2 - \frac{4x+10}{x^{2}+4x+5}\Bigr)\,dx =2x - \int \frac{4x+10}{x^{2}+4x+5}\,dx.

Passo 5

Precisa agora de \displaystyle\int \frac{4x+10}{x^{2}+4x+5}\,dx.
Note que
4x+10 = 2\,(2x+4) + 2, \quad d\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)= (2x+4)\,dx.
Logo
\int \frac{4x+10}{x^{2}+4x+5}\,dx =2\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\,dx +2\int \frac{dx}{x^{2}+4x+5}.
A primeira parte é
2\int \frac{d(x^{2}+4x+5)}{x^{2}+4x+5} =2\ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr).
Para a segunda completamos quadrado:
x^{2}+4x+5 = (x+2)^{2}+1,
então
\int \frac{dx}{(x+2)^{2}+1} = \arctan(x+2).
Portanto
\int \frac{4x+10}{x^{2}+4x+5}\,dx =2\ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr) + 2\arctan(x+2).

Passo 6

Voltando à integral original, juntamos tudo:
\int \ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr) - \Bigl(2x - \bigl[2\ln(x^{2}+4x+5) + 2\arctan(x+2)\bigr]\Bigr) + C.
Simplificando, fica
(x+2)\,\ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)\;-\;2x\;+\;2\,\arctan(x+2)\;+\;C.

Resposta

(x+2)\,\ln\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)\;-\;2x\;+\;2\,\arctan(x+2)\;+\;C.

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