Prove que, se
então existem constantes
e
(únicas?) tais que
Passo 1
O enunciado pede para decompor a fração racional
em frações parciais do tipo
supondo
. O conteúdo é frações parciais e vamos usar a técnica de igualar numeradores após multiplicar pelo denominador comum.
Passo 2
Começamos assumindo a identidade que queremos provar:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores, obtendo
Passo 3
Expandimos o lado direito:
Logo, a igualdade se torna
Passo 4
Agora igualamos coeficientes de
e termos constantes dos dois lados. Para o coeficiente de
:
Para o termo constante:
Passo 5
Resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Em seguida
Passo 6
Portanto, sob a condição
, encontramos
Como resolvemos um sistema
de equações lineares, a solução é única. Isso prova a existência e a unicidade de
e
.