Prove que, se a \neq b então existem constantes A e B (únicas?) tais que
\frac{m x+n}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b} .

Passo 1

O enunciado pede para decompor a fração racional
\frac{m x + n}{(x - a)(x - b)}
em frações parciais do tipo
\frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b},
supondo a \neq b. O conteúdo é frações parciais e vamos usar a técnica de igualar numeradores após multiplicar pelo denominador comum.

Passo 2

Começamos assumindo a identidade que queremos provar:
\frac{m x + n}{(x - a)(x - b)} \;=\; \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}.
Multiplicamos ambos os lados por (x - a)(x - b) para eliminar os denominadores, obtendo
m x + n \;=\; A(x - b) + B(x - a).

Passo 3

Expandimos o lado direito:
A(x - b) + B(x - a) = A x - A b + B x - B a = (A + B)\,x \;-\;(A b + B a).
Logo, a igualdade se torna
m x + n = (A + B)\,x \;-\;(A b + B a).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de x e termos constantes dos dois lados. Para o coeficiente de x:
A + B = m.
Para o termo constante:
-(A b + B a) = n \quad\Longleftrightarrow\quad A b + B a = -\,n.

Passo 5

Resolvemos o sistema
\begin{cases} A + B = m,\\\ A b + B a = -\,n. \end{cases}
Da primeira equação vem B = m - A. Substituindo na segunda:
A b + (m - A)\,a = -\,n \quad\Longrightarrow\quad A(b - a) + m a = -\,n \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{m a + n}{a - b}.
Em seguida
B = m - A = m - \frac{m a + n}{a - b} = \frac{m(a - b) - (m a + n)}{a - b} = \frac{-\,m b - n}{a - b} = \frac{m b + n}{b - a}.

Passo 6

Portanto, sob a condição a \neq b, encontramos
A = \frac{m a + n}{a - b} \quad\text{e}\quad B = \frac{m b + n}{b - a}.
Como resolvemos um sistema 2\times 2 de equações lineares, a solução é única. Isso prova a existência e a unicidade de A e B.

Resposta

\frac{m x+n}{(x-a)(x-b)} =\frac{1}{x-a}\,\frac{m a + n}{a - b} +\frac{1}{x-b}\,\frac{m b + n}{b - a}.

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