Prove que, se
então existem constantes
e
(únicas?) tais que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
, existe (e é única) a decomposição em frações parciais
O conteúdo usado será a técnica de frações parciais: multiplicar pelo denominador comum, obter uma identidade polinomial e determinar as constantes comparando valores ou coeficientes.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
. Isso dá a identidade polinomial
Passo 3
Para achar
, fazemos
. No lado direito, os termos com factor
desaparecem, restando
Logo,
Passo 4
Para achar
, fazemos
. No lado direito só sobrevive o termo
, então
Como
, obtemos
Passo 5
Para achar
, basta comparar coeficientes de
na identidade de Passo 2. No lado direito, o coeficiente de
é
, logo
Passo 6
Concluímos assim as fórmulas explícitas:
Passo 7
Para ver que
são únicos, suponha que outra tripla
também satisfaz a mesma identidade. Subtraindo as duas identidades obtemos um polinômio de grau
identicamente nulo, o que força
. Assim, a decomposição é única.
Resposta
Existem e são únicas as constantes
tais que