Prove que, se a \neq b então existem constantes A, B e C (únicas?) tais que
\frac{m x^{2}+n x+p}{(x-a)(x-b)^{2}}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{(x-b)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado a\neq b, existe (e é única) a decomposição em frações parciais
\frac{m x^{2}+n x+p}{(x-a)(x-b)^{2}} =\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{(x-b)^{2}}.
O conteúdo usado será a técnica de frações parciais: multiplicar pelo denominador comum, obter uma identidade polinomial e determinar as constantes comparando valores ou coeficientes.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x-a)(x-b)^{2}. Isso dá a identidade polinomial
m x^{2}+n x+p = A\,(x-b)^{2}+B\,(x-a)(x-b)+C\,(x-a).

Passo 3

Para achar A, fazemos x=a. No lado direito, os termos com factor (x-a) desaparecem, restando
m a^{2}+n a+p = A\,(a-b)^{2}.
Logo,
A = \frac{m a^{2}+n a+p}{(a-b)^{2}}.

Passo 4

Para achar C, fazemos x=b. No lado direito só sobrevive o termo C\,(b-a), então
m b^{2}+n b+p = C\,(b-a).
Como b-a=-(a-b), obtemos
C = \frac{m b^{2}+n b+p}{\,b-a\,}.

Passo 5

Para achar B, basta comparar coeficientes de x^{2} na identidade de Passo 2. No lado direito, o coeficiente de x^2 é A+B, logo
m = A + B \quad\Longrightarrow\quad B = m - A.

Passo 6

Concluímos assim as fórmulas explícitas:
A = \frac{m a^{2}+n a+p}{(a-b)^{2}},\quad B = m - \frac{m a^{2}+n a+p}{(a-b)^{2}},\quad C = \frac{m b^{2}+n b+p}{b-a}.

Passo 7

Para ver que A,B,C são únicos, suponha que outra tripla (A',B',C') também satisfaz a mesma identidade. Subtraindo as duas identidades obtemos um polinômio de grau <=2 identicamente nulo, o que força A-A'=B-B'=C-C'=0. Assim, a decomposição é única.

Resposta

Existem e são únicas as constantes
A = \frac{m a^{2}+n a+p}{(a-b)^{2}},\quad B = m - \frac{m a^{2}+n a+p}{(a-b)^{2}},\quad C = \frac{m b^{2}+n b+p}{b-a}
tais que
\frac{m x^{2}+n x+p}{(x-a)(x-b)^{2}} =\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{(x-b)^{2}}.

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