Calcule as seguintes integrais usando o Método da Integração por Partes:
\int u d v=u \cdot v-\int v d u \quad \text { ou } \quad \int_{a}^{b} u d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u
\int x \cdot \operatorname{arctg}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \,\arctan(x^{2})\,dx
usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para aplicar, precisamos escolher funções u e dv de modo que du e v fiquem fáceis de calcular.

Passo 2

Escolhemos
u = \arctan(x^{2}), \quad dv = x\,dx.
Assim, u é a parte “difícil” (invertida por derivação) e dv é a parte “simples” (integrada diretamente).

Passo 3

Calculamos du e v:
Como
u = \arctan(x^{2})
temos
du = \frac{d}{dx}\bigl[\arctan(x^{2})\bigr]\,dx = \frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x\,dx = \frac{2x}{1+x^{4}}\,dx.
E integrando dv,
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de partes,
\int x\,\arctan(x^{2})\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\,\arctan(x^{2}) - \int \frac{x^{2}}{2}\,\frac{2x}{1+x^{4}}\,dx.
No integrando, o 2 cancela, ficando
\int x\,\arctan(x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\arctan(x^{2}) - \int \frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx.

Passo 5

Para calcular
\int \frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx
fazemos a substituição t = x^{4}, de onde dt = 4x^{3}\,dx, isto é, x^{3}\,dx = \tfrac{dt}{4}. Assim,
\int \frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx = \int \frac{1}{1+t}\,\frac{dt}{4} = \frac{1}{4}\int \frac{dt}{1+t} = \frac{1}{4}\ln\bigl(1+t\bigr)+C = \frac{1}{4}\ln\bigl(1+x^{4}\bigr)+C.

Resposta

\boxed{ \int x\,\arctan(x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\arctan(x^{2}) - \frac{1}{4}\,\ln\bigl(1+x^{4}\bigr) + C }.

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